Izruo: Mein Weblog

Ich hatte gestern Abend etwas Langeweile, aber eine Idee.^^

Es ging um perspektivische Überlegungen. Man kann natürlich nach Augenmaß zeichnen, aber ich als Mathematikstudent kann mir sowas nun mal nicht erlauben. Also, Folgendes ging mir durch den Kopf:

Die Größe von Objekten ist direkt abhängig von der Entfernung vom Betrachter: Doppelte Entfernung - Halbe Größe

Okay, das war einfach. Mit der Positionierung im Bild wird es schon schwieriger.^^ Hierzu habe ich mir überlegt, zu berechnen, wie hoch das Objekt den Horizont verdeckt - oder mit andern Worten - in welcher Höhe des Objektes der Horizont schneidet.

Hierzu muss man zunächst folgende Größen abschätzen - oder sich vor dem Zeichnen festlegen:

• Die Höhe des Auges des Betrachters - im Folgenden mit h0 bezeichnet
• Die Entfernung der Objekte vom Betrachter - im Folgenden mit d bezeichnet
• Den Radius des Planeten, im Falle der Erde 6.371 km - im Folgenden mit r bezeichnet

Anschließend kann man mit folgenden Formeln arbeiten (Einheit km):

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    Herleitung der Formeln:

   Spoiler

   
   

   

   

   
   

Wie schon an den Formeln zu sehen ist, wird hier mit Winkeln gerechnet. In der Herleitung im Spoiler wird die zugrunde liegende Vorgehensweise näher erläutert.

Der erste Schritt besteht nun darin, die Sichtweite abhängig von der Höhe des Auges des Betrachters zu berechnen. Hierzu setzt man zunächst diese Höhe h0 und den Planetenradius r in Formel 3 ein, berechnet den Winkel und setzt diesen dann in Formel 2 ein.

Jetzt kommen wir zu den Objekten. ;) Man nehme eines davon, schätze oder wähle die gewünschte Distanz d, setze diese in Formel 1 ein und berechne den Winkel.

Nun kann man diese beiden Winkel miteinander verrechnen, indem man sie einfach voneinander abzieht. Das Ergebnis setzt man in Formel 4 ein und bekommt das gewünschte Ergebnis: die Höhe h am Objekt, in der der Horizont es schneidet.

Übrigens: Dies funktioniert auf genau dieselbe Art und Weise auch mit Objekten, die sich hinter dem Horizont befinden. Man muss nicht einmal, wie man vielleicht meinen könnte, die beiden Winkel bei der Subtraktion vertauschen, da der Cosinus eine symmetrische Funktion ist, also für denselben Wert, ob negativ oder positiv, genau dasselbe Ergebnis liefert.

Will man zum Beispiel ein d=100km entferntes Gebirge aus einer Sichthöhe von h0=5m=0,005km zeichnen, erhält man zunächst die beiden Winkel 0,9° und 0,07°, die Differenz beträgt 0,83°. Dies eingesetzt in Formel 4 ergibt eine Höhe von h=0,665km=665m, die vom Horizont verdeckt wird. Man muss also beim Zeichnen die unteren 665 Meter eines Gebirges wegschneiden, sodass es wirkt, als würde es in einer Entfernung von 100km auf der Erde stehen.

Ja, das war das Beispiel aus der Kurzfassung, ihr könnt ja aber auch einfach mal selbst ein wenig damit rumspielen.

Mir selbst hat es auch schon bei Überlegungen zu meiner Fanfic geholfen - ich hatte mir die Frage gestellt, ob das Gebirge, das ich mir in einer gewissen Entfernung vorstelle, überhaupt zu sehen ist.